On Rigid and Infinitesimal Rigid Displacements in Shell Theory

Let ω be an open connected subset of R2 and let θ be an immersion from ω into R3. It is first established that the set formed by all rigid displacements, i.e., that preserve the metric and the curvature, of the surface θ(ω) is a submanifold of dimension 6 and of class C∞ of the space H(ω). It is then shown that the vector space formed by all the infinitesimal rigid displacements of the surface θ(ω) is nothing but the tangent space at the origin to this submanifold. In this fashion, the “infinitesimal rigid displacement lemma on a surface”, which plays a key rôle in shell theory, is put in its proper perspective. Résumé Soit ω un ouvert connexe de R2 et soit θ une immersion de ω dans R3. On établit d’abord que l’ensemble formé par tous les déplacements rigides, c’est-à-dire ceux qui préservent la métrique et la courbure, de la surface θ(ω) est une sous-variété de dimension 6 et de classe C∞ de l’espace H(ω). On établit ensuite que l’espace vectoriel formé par tous les déplacements rigides infinitésimaux de la surface θ(ω) n’est autre que l’espace tangent à cette sous-variété à l’origine. De cette façon, le “lemme du déplacement rigide infinitésimal sur une surface”, qui joue un rôle important en théorie des coques, est placé en perspective.